Link za više informacija:
Folic R., Cosic M., Folic B.: Damping Models for Flow Chart Based Structural Analysis, The 15th International Science Conference VSU, Sofia, Bulgaria, 2015, pp. 155-164.
Generalni tretman prigušenja u analizi konstrukcija
U procesu modeliranja konstrukcije i pripreme analize, prema kojoj će se sprovesti proračun konstrukcije, prigušenje je moguće uvesti preko: prigušenja materijala, prigušenja koje potiče od elemenata veze i prigušenja koje se direktno definiše u analizi. Na slici 1 je prikazan dijagram toka generalnog tretmana prigušenja u analizi konstrukcija.
Prigušenje materijala (material damping) se uvodi pri definisanju tipa materijala i može se aplicirati za određenu grupu linijskih, površinskih ili prostornih konačnih elemenata. Ovakav princip uvođenja prigušenja u analizu je veoma povoljan, s obzirom da je isto moguće definisati za konstrukcije koje se sastoje iz segmenata različitog tipa materijala, kao što je na primer:
- jedan deo noseće konstrukcije se formira od betona, a drugi deo od čelika ili drveta bez uvođenja sprezanja,
- spregnute konstrukcije beton – čelik, beton – drvo i slično,
- modeliranje konstrukcije sa ispunom, pri čemu je ispuna od materijala koji se razlikuje od noseće konstrukcije,
- problemi interakcije konstrukcija – tlo (soil – structure interaction), pri čemu se posebno može definisati prigušenja za noseću konstrukciju, a posebno za tlo.
Primenom ovog prigušenja se može uvesti i uticaj radijacijskog prigušenja kod tla, tako što bi se tlo modeliralo prostornim (solid) konačnim elementima i za njih bi se definisale odgovarajuće mehaničke karakteristike i prigušenje.
Slika 1. Dijagram toka generalnog tretmana prigušenja u analizi konstrukcija
U zavisnosti od tipa analize, za koju se definiše prigušenje materijala, generalna podela prigušenja se može sprovesti na: modalno (modal damping), viskozno (viscous damping) i histerezisno prigušenje (hysteretic damping). Modalno prigušenje se uvodi kod spektralne – modalne analize i linearne/nelinearne modalne dinamičke analize. Viskozno prigušenje se uvodi kod linearne/nelinearne dinamičke analize za koju se sprovodi numerička integracija, dok se histerezisno prigušenje uvodi kod analize stalnog – postojanog stanja i analize snage spektralne gustine.
U zavisnosti od tipa elementa veze (link element), prigušenje se može uvesti kao: efektivno prigušenje (effective damping), prigušenje kod nelinearnog ponašanja i prigušenje kod frekventno zavisnih elemenata veze. Efektivno prigušenje se uvodi kod: spektralne – modalne analize, linearnih dinamičkih analiza (modalna i numerička integracija), analize stalnog – postojanog stanja i analize snage spektralne gustine. Prigušenje kod frekventno zavisnih elemenata veze se uvodi kod analize stalnog – postojanog stanja i analize snage spektralne gustine.
U zavisnosti od tipa analize, generalna podela prigušenja se može sprovesti na: modalno, viskozno i histerezisno prigušenje. Svako ovo prigušenje se može uvesti primenom raziličitih postupaka koji su prikazani u daljem delu teksta.
Prigušenje materijala
Prigušenje materijala, u formi modalnog prigušenja, se uvodi primenom koeficijenta relativnog prigušenja ξm za različite tipove materijala, a koji predstavlja odnos realnog prigušenja i kritičnog prigušenja. Ovo prigušenje je poznato i kao kompozitno modalno prigušenje, a njegove vrednosti se nalaze u granicama 0≤ξm≤1. Prigušenje materijala, u formi viskoznog (proporcionalnog) prigušenja, uvodi se primenom faktora participacije mase i krutosti sistema. Prigušenje materijala, u formi histerezisnog (proporcionalnog) prigušenja, se uvodi primenom faktora participacije mase i krutosti sistema, analogno principu uvođenja viskoznog prigušenja. S obzirom da se ovo prigušenje uvodi kod analiza u frekventnom domenu, to se u proračunu primenjuje matrica histerezisnog prigušenja.
Prigušenje koje potiče od elemenata veze
Prigušenje koje potiče od elemenata veze, a koji se modeliraju kod linearnih analiza, definiše se preko efektivnog prigušenja ceff. Ovo efektivno prigušenje se uvodi za svaki element veze posebno i za svaku komponentu prigušenja (ima ih 6) nezavisno, a njime se može predstaviti, između ostalog, i energija disipacije usled nelinearnog prigušenja i razvoja plastičnih deformacija. Određivanje efektivnog prigušenja se sprovodi analogno određivanju komponenata efektivne krutosti. Ukoliko se element veze definiše sa mogućnošću razvoja nelinearnih deformacija, tada se u toku nelinearne analize proračunava disipacija histerezisne energije u elementima veze. Sa druge strane, postoji mogućnost da se pri nelinearnom ponašanju elemenata veze dodatno uvede prigušenje, a u funkciji tipa samog elementa veze. U slučaju ostalih tipova elemenata veze koji se zasnivaju na histerezisnom ponašanju, kao što su multilinearni plastični (multilinear plastic), plastični (Wen) i izolator od gume (rubber isolator), a koji se primenjuju kod nelinearnih analiza, prigušenje se eksplicitno ne uvodi u proračun, već se u toku analize određuje.
Prigušenje frekventno zavisnih elemenata veze se koristi kod analize u frekventnom domenu, pri čemu frekventno zavisne karateristike predstavljaju kompleksnu impedancu. Realni deo odgovara krutosti, dok imaginarni deo odgovara histerezisnom prigušenju. Frekventno zavisne karakteristike elementa veze sa šest stepeni slobode mogu se prikazati u matričnoj formi (36 elemenata).
Prigušenje koje se direktno definiše u analizi
Modalno prigušenje, koje se direktno definiše u analizi, može se uvesti kao: konstantno prigušenje (constant damping for all modes), interpolirano prigušenje (interpolated damping by period or frequency) i primenom faktora participacije mase i krutosti (mass and stiffness proportional damping by coefficient). Konstantno prigušenje se definiše primenom jedinstvenog koeficijenta relativnog prigušenja ξc. Ukoliko se u postupku modeliranja konstrukcije definiše samo jedan tip materijala, tada prigušenje koje se uvodi preko materijala ξm postaje ekvivalentno prigušenju koje se uvodi kao konstantno prigušenje u analizi ξc. Međutim, potrebno je uzeti u obzir da se ovi različiti, po postupku uvođenja, tipovi prigušenja sabiraju, tako da će ukupno prigušenje biti dodatno povećano. Interpolirano prigušenje ξi se definiše u funkciji selektovanih perioda vibracija Ti ili frekvencija fi. Ovde postoji mogućnost da se za određene periode vibracija (frekvencije) posebno definišu koeficijenti relativnog prigušenja, a zatim da se za proračunate periode vibracija (frekvencije) interpolacijom odrede odgovarajući koeficijenti relativnog prigušenja ξi,i.
Van definisanog regiona, u kojem je zadato prigušenje, vrednost koeficijenta relativnog prigušenja je konstantna. Uvođenje prigušenja u analizu primenom faktora participacije mase i krutosti sistema sprovodi se: direktnim definisanjem ovih koeficijenata, definisanjem ovih koeficijenata u funkciji perioda vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika i definisanjem ovih koeficijenata u funkciji frekvencija prvog i drugog svojstvenog oblika. U određenim softverskim rešenjima postoji mogućnost direktnog definisanja α i β faktora ili da se definišu periodi vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika T1 i T2 i odgovarajuće vrednosti koeficijenata relativnog prigušenja ξ1 i ξ2, a da se zatim sprovede proračun α i β faktora. Takođe, postoji mogućnost da se definišu frekvencije prvog i drugog svojstvenog oblika f1 i f2 i odgovarajuće vrednosti koeficijenata relativnog prigušenja ξ1 i ξ2, a da se zatim sprovede proračun α i β faktora.
Viskozno prigušenje, koje se direktno definiše u analizi, može se uvesti: primenom faktora participacije mase i krutosti α i β, u funkciji perioda vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika T1 i T2 (specify damping by period) i u funkciji frekvencija prvog i drugog svojstvenog oblika f1 i f2 (specify damping by frequency). U slučaju uvođenja faktora participacije mase i krutosti α i β proračun matrice prigušenja [C] se sprovodi prema izrazu (2), dok je u preostala dva postupka potrebno poznavati i periode vibracija T1 i T2 ili frekvencije f1 i f2 i odgovarajuće koeficijente relativnog prigušenja ξ1 i ξ2 da bi se proračunala matrica prigušenja [C]. Uvođenje prigušenja primenom različitih koeficijenata relativnog prigušenja za prva dva svojstvena oblika (frekvencije) ima niz prednosti, u odnosu na princip korišćenja jedinstvenog koeficijenta relativnog prigušenja.
Histerezisno prigušenje, koje se direktno definiše u analizi, može se uvesti kao konstantno prigušenje za sve frekvencije (constant damping for all frequencies) i interpolirano prigušenje po frekvencijama (interpolated damping by frequency). Konstantno prigušenje za sve frekvencije se definiše preko faktora participacije mase i krutosti α i β, tako da se proračun matrice prigušenja [C] sprovodi prema izrazu (2). Interpolirano prigušenje po frekvencijama se uvodi u proračun preko frekvencija fi i odgovarajućih faktora participacije mase i krutosti α i β. Zatim se za proračunate frekvencije interpolacijom odrede odgovarajući koeficijenti relativnog prigušenja ξh,i.
Aspekti modeliranja prigušenja u analizi konstrukcija
Spektralna – modalna analiza
Uvođenje prigušenja u spektralno – modalnu analizu moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 2 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod spektralne – modalne analize. Prigušenje materijala se uvodi kao modalno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi kao efektivno prigušenje. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se kao: konstantno prigušenje, interpolirano prigušenje i primenom faktora participacije mase i krutosti, pri čemu se ovo poslednje prigušenje može uvesti primenom: faktora participacije mase i krutosti α i β, u funkciji perioda vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika T1 i T2 i u funkciji frekvencija prvog i drugog svojstvenog oblika f1 i f2. Sa druge strane, prilikom generisanja spektra odgovora prigušenje se uvodi preko koeficijenta relativnog prigušenja ξrs. Međutim, ukupno prigušenje u spektralno – modalnoj analizi se definiše preko kumulativnog koeficijenta relativnog prigušenja ξ, tako da se kriva spektra odgovora koriguje. Ukoliko su vrednosti koeficijenta relativnih prigušenja jednake ξrs=ξ, tada nema dodatne korekcije spektralnih akceleracija i u analizu se uvodi spektar odgovora koji je generisan za koeficijent relativnog prigušenja ξrs.
Slika 2. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod spektralne – modalne analize
Nelinearna statička pushover analiza
U nelinearnoj statičkoj pushover analizi prigušenje se ne uvodi pre proračuna, već se naknadno definiše nakon proračuna konstrukcije u analizi ciljnog pomeranja (target displacement analysis). Na slici 3 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne statičke pushover analize.
Slika 3. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne statičke pushover analize
Postupak uvođenja prigušenja se sprovodi preko jednog globalnog koeficijenta kojim se može uzeti u obzir i viskozno i histerezisno prigušenje. U zavisnosti od tipa analize ciljnog pomeranja moguće su opcije:
Metoda spektra kapaciteta (CSM – Capacity Spectrum Method):
Prigušenje se uvodi preko globalnog koeficijenta prigušenja kao osnovno (inherent) i dodatno (additional) prigušenje, ali se može dodatno uticati i preko tipa konstruktivnog sistema. Za nivo ciljnog pomeranja dt, koji se određuje kroz iteracije, ukupno efektivno prigušenje u sistemu ξeff dobija se prema ATC 40:
gde je ξv koeficijent relativnog (viskoznog) prigušenja (5%), ξh koeficijent histerezisnog prigušenja (prikazan kao ekvivalentno viskozno prigušenje), Sa,y spektralna akceleracija na granici tečenja prikazana u formatu spektralno ubrzanje – spektralno pomeranje (ADRS – acceleration – displacement response spectra), Sa,t spektralna akceleracija za nivo ciljnog pomeranja, Sd,y spektralno pomeranje na granici tečenja, Sd,t spektralno pomeranje za nivo ciljnog pomeranja, κ koeficijent kojim se uzima u obzir koliko dobro je histerezisni model konstrukcije aproksimiran bilinearnim histerezisnim modelom.
Metoda koeficijenta pomeranja (CDM – Coefficient Displacement Method):
Prigušenje se uvodi preko koeficijenta efektivnog prigušenja, a koji se se koristi pri generisanju spektra odgovora. U suštini ovo je viskozno prigušenje, dok se histerezisno određuje iz proračuna, mada se može uvesti i dodatno prigušenje preko ovog koeficijenta.
Metoda ekvivalentne linearizacije (ELM – Equivalent Linearization Method):
Prigušenje se uvodi preko globalnog koeficijenta prigušenja (osnovno i dodatno prigušenje), ali se kao alternativa može definisati efektivno prigušenje, prikazano preko koeficijenta relativnog prigušenja za histerezisni odgovor sistema prema FEMA 440:
gde se efektivan period vibracija određuje prema:
gde je T0 inicijalan period vibracija nelinearnog sistema.
Metoda modifikacija pomeranja (DMM – Displacement Modification Method):
Prigušenje se uvodi preko koeficijenta efektivnog prigušenja, a koji se se koristi pri generisanju spektra odgovora. U suštini ovo je viskozno prigušenje, dok se histerezisno određuje iz proračuna, mada se može uvesti i dodatno prigušenje preko ovog koeficijenta.
Linearna dinamička (modalna) analiza
Uvođenje prigušenja u linearnu dinamičku (modalnu) analizu moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 4 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod linearne dinamičke (modalne) analize. Prigušenje materijala se uvodi kao modalno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi kao efektivno prigušenje. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se kao: konstantno prigušenje, interpolirano prigušenje i primenom faktora participacije mase i krutosti, pri čemu se ovo poslednje prigušenje može uvesti primenom: faktora participacije mase i krutosti α i β, u funkciji perioda vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika T1 i T2 i u funkciji frekvencija prvog i drugog svojstvenog oblika f1 i f2.
Slika 4. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod linearne dinamičke (modalne) analize
Nelinearna dinamička (modalna) analiza
Uvođenje prigušenja u nelinearnu dinamičku (modalnu) analizu moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenje kod nelinearnog ponašanja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 5 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne dinamičke (modalne) analize. Prigušenje materijala se uvodi kao modalno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi uzimajući u obzir predefinisane parametre za nelinearno prigušenje i razvoj histerezisnog ponašanja. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se identično kao kod linearne dinamičke (modalne) analize: konstantno prigušenje, interpolirano prigušenje i primenom faktora participacije mase i krutosti. Efikasnost ove analize je u tome što se razdvaja vektor sila koje potiču od elemenata veza sa nelinearnim ponašanjem od matrica elastične krutosti i prigušenja.
Slika 5. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne dinamičke (modalne) analize
Linearna dinamička (numerička integracija) analiza
Uvođenje prigušenja u linearnu dinamičku (numeričku integraciju) analizu moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 6 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod linearne dinamičke (numeričke integracije) analize. Prigušenje materijala se uvodi kao viskozno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi kao efektivno prigušenje. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se primenom: faktora participacije mase i krutosti α i β, u funkciji perioda vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika T1 i T2 i u funkciji frekvencija prvog i drugog svojstvenog oblika f1 i f2.
Slika 6. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod linearne dinamičke (numeričke integracije) analize
Nelinearna dinamička (numerička integracija) analiza
Uvođenje prigušenja u nelinearnu dinamičku (numeričku integraciju) analizu moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 7 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne dinamičke (numeričke integracije) analize. Prigušenje materijala se uvodi kao viskozno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi uzimajući u obzir predefinisane parametre za nelinearno prigušenje i razvoj histerezisnog ponašanja. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se identično kao kod linearne dinamičke (numeričke integracije) analize. Diferencijalna jednačina dinamičke ravnoteže sistema, kod nelinearne dinamičke (numeričke integracije) analize, formuliše se u analogno izrazu (22), s tim što se matrica krutosti formira uzimajući u obzir razvoj geometrijske i materijalne nelinearnosti, a proračunava primenom inkrementalno – iterativnog postupka. Prilikom proračuna nelinearne dinamičke (numeričke integracije) analize formira se matrica prigušenja prema izrazu (22), a u zavisnosti od tipa prigušenja koje je definisano pre izvršenja analize.
Slika 7. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod nelinearne dinamičke (numeričke integracije) analize
U slučaju izraženog nelinearnog ponašanja, usled stalnog pada krutosti sistema, nastupa konstantno smanjenje prigušenja, mada to i nema fizičkog opravdanja. Tada je najpovoljnije da se matrica prigušenja formira na početku proračuna, kao proporcionalna početnoj linearnoj matrici krutosti uz zanemarenje člana koji je proporcionalan matrici masa. Objašnjenje za ovo leži u činjenici da su efekti histerezisne disipacije, kod nelinearnih sistema, dominantniji u odnosu na efekte viskoznog prigušenja, a koje je izraženo kod linearnih sistema. Eliminacija člana koji je proporcionalan matrici masa omogućava veće prigušenje viših svojstvenih oblika u odnosu na prigušenje nižih svojstvenih oblika.
Analiza stalnog – postojanog stanja i analiza snage spektralne gustine
Uvođenje prigušenja u analizu stalnog – postojanog stanja i analizu snage spektralne gustine moguće je sprovesti primenom: prigušenja materijala, prigušenja elemenata veze i prigušenja u analizi. Na slici 8 je prikazan dijagram toka uvođenja prigušenja kod analize stalnog – postojanog stanja i analize snage spektralne gustine. Prigušenje materijala se uvodi kao histerezisno prigušenje, dok se prigušenje elemenata veze uvodi kao efektivno prigušenje i prigušenje kod frekventno zavisnih elemenata veze. Prigušenje koje se direktno definiše u analizi uvodi se kao konstantno (primenom faktora participacije mase i krutosti α i β) i interpolirano prigušenje (interpolacijom po frekvenciji i faktorima participacije mase i krutosti α i β).
Slika 8. Dijagram toka uvođenja prigušenja kod analize stalnog – postojanog stanja i analize snage spektralne gustine
Link za više informacija:
Folic R., Cosic M., Folic B.: Damping Models for Flow Chart Based Structural Analysis, The 15th International Science Conference VSU, Sofia, Bulgaria, 2015, pp. 155-164.