Link za više informacija:
Cosic M., Brcic S.: Typology of NSPA Pushover Curves and Surfaces for 3D Performance-Based Seismic Response of Structures, Building Materials and Structures, Vol. 56, No. 4, 2013, pp. 19-38.
Tipologija NSPA pushover kriva
Analiza odgovora konstrukcija za dejstvo zemljotresa se, pored vremenskog i frekventnog domena, razmatra i u kapacitativnom domenu (CD), odnosno domenu analize kapaciteta nosivosti i deformacija konstrukcije (slika 1).
Slika 1. Odgovor 2D modela zgrada u kapacitativnom domenu
Model zgrade se izlaže dejstvu lateralnog seizmičkog opterećenja, a odgovor sistema se prati preko promene horizontalnog pomeranja najvišeg čvora zgrade. Inkrementalno-iterativna procedura se izvršava sve dok se ne dostigne unapred definisani nivo horizontalnog pomeranja Dmax najvišeg čvora zgrade ili dok ne nastupi kolaps konstrukcije (slika 2).
Slika 2. Pushover kriva V/W=f(DR)
Uspostavljanje kontinuiteta veze između diskretnih vrednosti IiáDRi,(V/W)iñ dobijenih NSPA analizom sprovodi se interpolacijom, gde se kao osnovni metod za uspostavljanje ove veze primenjuje linearna interpolacija. Znatno bolje rešenje se postiže primenom interpolacije B-splajnovima, a koji su generalizacija Bezier-ovih krivih.
Reprezentativan model pushover krive karakterišu tri bitno različita domena: linearno-elastično ponašanje za koje je elastična krutost sistema pozitivna, Ke>0, nelinearno ponašanje za koje je nelinearna krutost sistema |Kn|≪Ke i kolaps koji karakteriše negativna krutost sistema Kc<0 i redukcija nosivosti. Tipologija pushover kriva, uvedena u ovom istraživanju, bazira se na analizi nelinearnog odgovora 3D modela zgrada, a takođe i odgovora određenog broja 2D višespratnih okvira, pošto isti participiraju kao konstruktivne celine zgrada. Kriterijumi na osnovu kojih se može sprovesti generalna podela pushover krivih su: globalna duktilnost μ, globalni driftovi za performansne nivoe armiranobetonskih okvirnih sistema (structural performance levels): DRIO (IO – immediate occupancy), DRLS (LS – life safety), DRCP (CP – collapse prevention) i egzistencija linearnog (L – linear), nelinearnog (N – nonlinear) i kolapsnog (C – collapse) subdomena.
Generalna podela zgrada prema nelinearnom odgovoru je na zgrade visoke duktilnosti (DCH – high class ductility), srednje duktilnosti (DCM – medium class ductility) i niske duktilnosti (DCL – low class ductility). Prvi slučaj nelinearnog odgovora karakteriše visoka duktilnost DCH i na osnovu čega su izvedene osobine krutosti sistema (slika 3). Izražen N domen ukazuje na povoljno duktilno ponašanje zgrada obzirom na mogućnost znatne disipacije histerezisne energije i plastifikaciju sistema povoljnim mehanizmima loma. Prema tome, moguće su sledeće varijante nelinearne krutosti sistema: Kn>0, Kn≈0 (Kn≪Ke) i Kn<0.
Slika 3. Odgovori sistema sa duktilnim DCH ponašanjem ∃L, ∃N i ∃C
Razmatranje nastanka kolapsa sistema je kompleksan problem i zahteva višekriterijumsku i višeparametarsku analizu, međutim može se konstatovati da ukoliko je Kn>0, tada kolaps konstrukcije, u najvećem broju slučajeva, nastupa u C subdomenu. Ukoliko je Kn≈0, tada kolaps može nastupiti i u N i u C subdomenu, a ako je Kn<0 tada je iniciranje kolapsa, između ostalog, funkcija stepena redukcije nosivosti sistema i DRCP, pri čemu će sa velikom verovatnoćom nastupiti u N domenu.
Drugi slučaj nelinearnog odgovora karakteriše DCM i DCH duktilnost pri čemu nema jasno izraženog C subdomena (slika 4). Moguće varijante nelinearne krutosti sistema Kn su iste kao i za prethodi slučaj: Kn>0, Kn≈0 (Kn≪Ke) i Kn<0. Ovakav odgovor sistema karakteriše egzistencija L i N domena, a sa druge strane, ovakav odgovor sistema može biti i problem numeričkog rešenja, pošto je kod određenih numeričkih modela potreban veliki broj inkremenata i iteracija, a takođe potrebno je i pooštriti kriterijume tolerancije za rezidualno (neizbalansirano) opterećenje.
Slika 4. Odgovori sistema sa duktilnim DCM i DCH ponašanjem ∃L, ∃N i ∄C
Treći slučaj nelinearnog odgovora karakteriše nizak nivo duktilnosti DCL ili neduktilno odnosno krto ponašanje, pri čemu nema jasno izraženog N i C subdomena (slika 5).
Slika 5. Odgovori sistema sa niskim nivoom duktilnosti ∃L, ∃N (ili ∄N), ∃C (ili ∄C)
Prethodno su prezentovani generalizovani modeli nelinearnog ponašanja, međutim u određenim situacijama, odgovor sistema može pripadati prelaznoj kategoriji. Karakterističan primer je nelinearni odgovor sistema sa naglom promenom Kn u N domenu (tzv. oblik zubacatestere, saw-tooth shape) (slika 6). Sistem se generalno ponaša duktilno, dok je promena krutosti u N domenu frekventna. Prikazivanje pushover krive u tom slučaju može da se izvrši primenom kompatibilne krive kapaciteta.
Slika 6. Odgovori sistema sa duktilnim ponašanjem ∃L, ∃N, ∃C i promenljivim Kn
Klasifikacija tipova pushover krivih izvedena je na osnovu prethodno prikazanih osobina krutosti sistema i analizom varijacije parametara: μ duktilnosti, μh duktilnosti u zoni ojačanja/omekšanja i α koeficijenta odnosa krutosti u nelinearnom i linearnom domenu. Sve pushover krive su prvo konstruisane kao poligonalne linije na osnovu kojih su duž segmenata izabrane diskretne međuvrednosti, a zatim je sprovedena interpolacija splajnovima (slika 7). Dodatno je sprovedeno filtriranje diskretnih vrednosti za μ=1 i μh. U tabeli 1 su prikazane generisane pushover krive, pri čemu je na abscisi vrednost μ, a na ordinati normalizovana vrednost V/Vy. Razmatrane su pushover krive u funkciji varijacije parametara α>0, α≈0, α<0 i duktilnosti μ=μh i μ>μh.
Slika 7. Interpolirana pushover kriva sa filtriranjem diskretnih vrednosti za μ=1 i μh
Tabela 1. Generisane pushover krive u funkciji varijacije parametra μ, μh i α
Tipologija NSPA pushover površi
Razmatranje 3D seizmičkog odgovora zgrada moguće je sprovesti primenom pushover površi (pushover surface) za slučaj da se uzimaju u obzir dve istovremene ortogonalne komponente seizmičkog dejstva. Konstrukcija i generisanje pushover površi sprovodi se integracijom nelinearnih odgovora prikazanih preko individualnih pushover krivih koje su određene za različite uglove dejstva zemljotresa simultano u dva ortogonalna pavca. Model zgrade se izlaže dejstvu lateralnog seizmičkog opterećenja čija je raspodela konstantna za konvencionalnu NSPA analizu (NSCPA – Nonlinear Static Conventional Pushover Analysis) u toku inkrementalnih proračunskih situacija. U slučaju adaptivne NSPA analize (NSAPA – Nonlinear Static Adaptive Pushover Analysis) raspodela lateralnog seizmičkog opterećenja je promenljiva u toku inkrementalnih opterećenja. NSCPA i NSAPA analize se sprovode za različite vrednosti ugla θi, kojim je definisan pravac zemljotresa, u intervalu θ=[0,360°], po jedan slučaj opterećenja za svaki inkrement priraštaja ugla Δθ. U fazama proračuna zgrade razmatraju se svi stepeni slobode, ali se monitoring odgovora sistema prati i prezentuje za odgovrajući pravac (ugao θi) i predstavlja pushover krivom za taj pravac. Integracijom ovako određenih pushover krivih V/W=f(DR)θ po uglovima θi generiše se pushover površ 3D modela zgrade. Odgovor 3D modela zgrada u kapacitativnom domenu prema NSPA analizi, a prezentovan primenom pushover krivih za uglove θi je, u opštem slučaju, prikazan je na slici 8.
Slika 8. Odgovor 3D modela zgrada u kapacitativnom domenu
Konstrukcija pushover krive V/W=f(DR)θ za ugao θ se sprovodi iz projekcije pushover krive sistema za bidirekciono seizmičko dejstvo na vertikalnu ravan DRθ-V/W za ugao θ (slika 9a). Ortogonalne projekcije pushover krive za ugao θ prikazane su na slikama 9b i 9c za DRx-DRy ravan i DRx-V/W ravan, respektivno.
Slika 9. Pushover kriva u 3D koordinatnom sistemu za bidirekciono seizmičko dejstvo za ugao θ: a) projekcija na ortogonalne ravni DRx-V/W, DRy-V/W, DRx-DRy i za ugao θ, b) DRx-DRy ravan, c) DRx-V/W ravan
Na slici 10a prikazane su pushover krive generisane po uglovima θi u 2D ortogonalnom koordinatnom sistemu, dok su na slici 10b prikazane pushover krive u 3D ortogonalnom koordinatnom sistemu u izometriji, a generisane transformacijom.
Slika 10. a) pPushover krive generisane za uglove θi u 2D ortogonalnom koordinatnom sistemu, b) NSPA pushover krive u 3D ortogonalnom koordinatnom sistemu u izometriji
3D mrežni model pushover krivih povezanih splajnovima u tangencijalnom pravcu prikazan je na slici 11a, dok je na slici 11b prikazan 3D model pushover površi u renderovanom prikazu.
Slika 11. a) 3D mrežni model pushover kriva, b) 3D renderovana pushover površ
Prikazana pushover površ predstavlja opšti slučaj pushover površi za 3D model asimetrične neregularne zgrade i za analizirane uglove θi. Ortogonalne projekcije date pushover površi prikazane su na slici 12 za DRx-V/W i DRx-DRy ravni. Splajnovi u tangencijalnom pravcu (V/W)j=g(DRx,j,DRy,j) povezuju diskretne vrednosti iz inkrementalnih situacija Ii(DRi,(V/W)z,i,θi) NSPA analiza pa, u opštem slučaju, nisu na ekvidistantnom odstojanju (slika 12a). Sa druge strane ovi splajnovi, u opštem slučaju, nisu ni koncentrični krugovi (slika 12b). Uspostavljanje kontinuiteta veze između diskretnih vrednosti IiáDRi,(V/W)iñ, odnosno između pushover krivih (V/W)i=f(DRi,θi) u radijalnom pravcu i (V/W)j=g(DRx,j,DRy,j) krivih u tangencijalnom pravcu sprovodi se primenom Bezier-ove površi. Kontrolni čvorovi definišu oblik NSPA pushover površi, dok vektor čvora određuje gde i kako pushover površ dodiruje kontrolne čvorove.
Slika 12. Ortogonalne projekcije za opšti slučaj pushover površi: a) DRx-V/W, b) DRx-DRy ravan
Analogija u geometrijskoj identifikaciji i matematičkoj prezentaciji pushover površi uspostavljena je sa polutorusnom površi kod koje je veći radijus torusa ekvivalentan manjem radijusu torusa a (horn torus) (slika 13a). Pushover površ je složena asimetrična površ koja se sastoji iz centralne površi i rotacione poligonalne površi, tako da svojim geometrijom asocira na polutorusnu površ, dok se u prirodi asocijacija može uspostaviti sa vulkanskim kraterom. Ukoliko se uzme u obzir da je do nivoa iniciranja granice tečenja zavisnost sila-pomeranje linearna, tada je centralni deo pushover površi konusna površ. Na složenost pushover površi ukazuje i promenljivost Gauss-ove krivine u zavisnosti od razmatranog poddomena diskretnog modela pushover površi.
Slika 13. Analogija u geometrijskoj identifikaciji i matematičkoj prezentaciji pushover površi: a) polutorusna površ sa R=a (horn torus), b) složena rotaciona pushover površ generisana iz konusne i poligonalne površi
Tipološka analiza pushover površi znatno je kompleksnija u odnosu na tipologiju pushover krivih, pošto u jednoj pushover površi učestvuje više pushover krivih. Generalno, tipologija se može izvršiti sa podelom površi na dve bitno različite grupe: sa konstantnim znakom krutosti Kn u nelinearnom domenu za sve pushover krive i sa promenljivim znakomkrutosti Kn u nelinearnom domenu za pushover krive. Kod grupe sa konstantnim znakom Kn moguće su varijacije: Kn>0 za sve pushover krive, Kn≈0 za sve pushover krive i Kn<0 za sve pushover krive, uz značajno učešće P-Δ efekata. Kod grupe sa promenljivim znakom Kn moguća je situacija da određene pushover krive imaju Kn>0, a neke druge krive imaju Kn<0. Ovakav odgovor sistema je posledica znatne razlike tangentne krutosti zgrade za dva ortogonalna pravca. Ukoliko se uzme u obzir ispitivanje egzistencije linearnog, nelinearnog i kolapsnog subdomena, tada postoji još veći broj varijacija pushover površi.
Generalizacija u tipologiji pushover površi izvedena je u funkciji varijacije μ, μh i α parametara za jedan i dva glavna pravaca (slika 14). U slučaju varijacije μ, μh i α parametara kod pushover površi samo za jedan glavni pravac, razmatrani su slučajevi: identični parametri po smerovima jednog (svih) pravca i različiti parametri po smerovima jednog pravca.
Slika 14. Generalizacija u tipologiji pushover površi u funkciji varijacije parametara μ, μh i α
Pushover površi su generisane tako što su diskretne vrednosti linearno interpolirane i direktno povezane u prostornom koordinatnom sistemu. U tabeli 2 su prikazane generisane pushover površi u funkciji varijacije parametra α>0, α≈0, α<0 i duktilnost μ=μh i μ>μhza jedan glavni pravac.
Tabela 2. Generisane pushover površi u funkciji varijacije parametara μ, μh i α za jedan glavni pravac
U slučaju varijacije parametara α>0, α≈0, α<0 i duktilnost μ=μh i μ>μhkod pushover površi za dva glavna pravca razmatrani su slučajevi: identični parametri po smerovima jednog pravca i različiti parametri po smerovima jednog pravca. U tabeli 3 su prikazane generisane pushover površi u funkciji varijacije parametra μ, μh i α za dva glavna pravca.
Tabela 3. Generisane pushover površi u funkciji varijacije parametara μ, μh i α za dva glavna pravca
Komparacijom generisanih pushover površi prikazanih u tabelama 2 i 3 mogu da se identifikuju četiri bitno različite grupe ovih površi. U prvu grupu spadaju pushover površi rotaciono polisimetrične u osnovi (leva strana tabele 2), gde su sve pushover krive identične, a splajnovi u tangencijalnom pravcu su koncentrični krugovi sa centrom u vertikalnoj osi. U drugu grupu spadaju pushover površi koje su monosimetrične u osnovi (desna strana tabele 2) i za koje se linija u osnovi može da prikaže kao zatvorena ovalna kriva. U treću grupu spadaju pushover površi koje su bisimetrične u osnovi (leva strana tabele 3) i za koje se linija u osnovi može da prikaže kao superelipsa. U četvrtu grupu spadaju pushover površi koje su asimetrične ili monosimetrične u osnovi (desna strana tabele 3) i za koje se linija u osnovi može da prikaže takođe kao zatvorena ovalna kriva. U tabeli 4 su prikazana četiri karakteristična tipa pushover površi i konstruisane odgovarajuće krive u osnovi.
Tabela 4. Četiri karakteristična tipa pushover površi i konstruisane odgovarajuće krive u osnovi
Link za više informacija:
Cosic M., Brcic S.: Typology of NSPA Pushover Curves and Surfaces for 3D Performance-Based Seismic Response of Structures, Building Materials and Structures, Vol. 56, No. 4, 2013, pp. 19-38.