Link za više informacija:
Cosic M., Folic R.: Numerical Model of Fluid-Structure Interaction for Water Tower Analysis of Vibrations, Structural Integrity and Life, Vol. 20, No. 2, 2020, pp. 190-200.
Generalni dinamički modeli vodotornja
U postupku statičke i dinamičke analize vodotornja primarno se polazi od razmatranja horizontalnih i vertikalnih pritisaka koji potiču od fluida. Na slici 1a) je prikazan simplifikovani model vodotornja i odgovarajući pritisci koji potiču od vode: hidrostatički (slika 1b) i hidrodinamički (slika 1c). Hidrostatički pritisci se uzimaju u razmatranje za slučaj stanja mirovanja vodotornja, dok se hidrodinamički pritisci uzimaju u obzir za stanje da je vodotoranj izložen dejstvu zemljotresa.
Slika 1. a) model vodotornja ispunjen fluidom, b) hidrostatički pritisak vode, c) hidrodinamički pritisci vode
U slučaju vibriranja vodotornja voda generira na zidove i dno rezervoara dve vrste hidrodinamičkog pritiska: impulsivni i konvektivni. Impulsivno delovanje podrazumeva da je deo mase fluida kruto vezan sa vodotornjem (deluje kao kvazistatičko opterećenje), dok konvektivno delovanje (sloshing) podrazumeva povećanje sile na konstrukciju vodotornja usled talasanja fluida. Konvektivni pritisak je znatno manji od impulsivnog i može da izazove samo talasanje slobodne površine fluida kod krutih rezervoara vodotornjeva. Za projektovanje krutih rezervoara vodotornjeva značajan uticaj ima samo impulsivni pritisak, dok u slučaju fleksibilnih rezervoara vodotornjeva bitan uticaj ima i konvektivni pritisak.
Standardni dinamički model za analizu vodotornja podrazumeva aproksimaciju sistema preko koncentrisanih masa. Ovde se za preliminarni model koristi sistem sa jednim stepenom slobode (SDOF – single degree of freedom) sa koncentrisanom masom (slika 2a). Ovakav model za dinamički analizu vodotornja je dosta simplifikovan i koristi se za osnovnu procenu pri određivanju svojstvenog oblika i perioda vibracija. Drugi napredniji nivo u kreiranju dinamičkog modela vodotornja je noseća konstrukcija sa koncentrisanom masom fluida (one-mass fluid model) (slika 2b). Ovakav model vodotornja ima veći broj stepeni slobode u odnosu na prethodni model. Treći i najnapredniji model vodotornja je konstrukcija sa koncentrisanim impulsivnim i konvektivnim masama fluida (two-mass fluid model) (slika 2c). Takođe, postoji mogućnost i modeliranja vodotornja ispunjenog fluidom sa većim brojem masa (multi-mass fluid model).
Slika 2. Model vodotornja za dinamičku analizu: a) sa jednim stepenom slobode, b) model konstrukcije sa koncentrisanom masom fluida, c) model konstrukcije sa koncentrisanim masama fluida (impulsivna i konvektivna)
U stanju mirovanja površina fluida (vodenog ogledala) u vodotornju je horizontalna (slika 3a), dok u stanju kada je vodotoranj pobuđen na oscilovanje ova površina je znatno kompleksnije forme usled talasanja fluida i zapljuskivanja bočnih strana. Simplifikovani model fluida za stanje vibracija vodotornja prikazan je na slici 3b, gde je na jednoj stranici nivo fluida u vodotornju h+d, a na drugoj h-d.
Slika 3. Model vodotornja ispunjen fluidom: a) stanje mirovanja, b) stanje vibracija (sloshing effect)
Numeričko modeliranje vodotornja i fluida
U odnosu na analitički tretman konstrukcije vodotornja i modeliranje fluida, numeričkim modeliranjem metodom konačnih elemenata moguće je znatno detaljnije i efikasnije analizirati problem vibracija. Kod numeričke analize vodotornja težište je na modeliranju fluida i FSI interakciji, a koju je moguće sprovesti:
- indirektno (implicitno) modeliranjem fluida preko zamenjujućih dodatih masa (added mass method),
- direktno (eksplicitno) modeliranjem fluida primenom solid konačnih elemenata koji imaju ugrađene atribute fluidnog modela ponašanja prema Lagrange-ovoj formulaciji,
- direktno (eksplicitno) modeliranjem fluida primenom solid konačnih elemenata koji imaju ugrađene atribute fluidnog modela ponašanja prema Euler-ovoj formulaciji,
- direktno (eksplicitno) modeliranjem fluida primenom solid konačnih elemenata koji imaju atribute fluidnog modela ponašanja prema Lagrange-Euler-ovoj formulaciji.
Postupak indirektnog modeliranja fluida preko zamenjujućih masa je analogija postupku primenjenom kod analitičkog tretmana sa masom koja potiče od impulsivnog i konvektivnog pritiska. Veza mase, koja potiče od impulsivnog pritiska, sa konstrukcijom vodotornja se realizuje primenom krutih elemenata veze (rigid link element) za mrle=0 i krle→∞. Veza mase, koja potiče od konvektivnog pritiska, sa konstrukcijom vodotornja se realizuje primenom elastičnih elemenata veze (linear link element) za mlle=0 i klle=kc.
Istraživanje sprovodeno u ovom radu bazira se na diskretnom modelu fluida u vodotornju i njegovoj direktnoj participaciji kod analize vibracija. Za FSI interakciju po metodi konačnih elemenata i prema Lagrange-ovoj formulaciji važi da je fluid idealan, homogen, elastičan, izotropan, kompresibilan i neviskozan. Konačni element kojim se opisuje ponašanje fluida je zasnovan na formulaciji u kojoj se dilatacije fluida proračunavaju iz linearnih jednačina pomeranja. Ukoliko bi se u razmatranju uzelo u obzir da je fluid nekompresibilan, tada bi se za slučaj visokih frekvencija javile velike greške u proračunu. Primenom 3D solid konačnih elemenata sa nekompatibilnim svojstvenim oblicima i veoma niskim modulom smicanja može se dosta dobro prezentovati model ponašanja fluida u rezervoaru vodotornja. Efekat viskoznosti u dinamičkoj analizi vodotornja se smanjuje kada se dimenzije rezervoara vodotornja povećavaju. Kod fluida zapreminski modul λ je nezavisna konstanta, Poisson-ov koeficijent ν uzima vrednost 0.5, dok su Young-ov modul elastičnosti E i modul smicanja G jednaki 0 (≈0). Za izotropne materijale zapreminski modul λ i modul smicanja G su poznati kao Lame-ove elastične konstante i predstavljaju fundamentalne materijalne karakteristike za fluid, u ovom slučaju vodu. Ukoliko je vrednost modula smicanja G izuzetno mala u poređenju sa zapreminskim modulom λ, tada se za Poisson-ov koeficijent ν uzima vrednost ≈0.5, a za Young-ov modul elastičnosto E≈3G. Glavna razlika između deformabilnih tela i fluida je da fluid ima veoma mali modul smicanja G u poređenju sa zapreminskim modulom λ.
Osnovni aspekti od kojih se polazi u fazi kreiranja i predprocesiranja 3D numeričkog modela vodotornja i fluida su aproksimacija i diskretizacija. U procesu aproksimacije razmatrani domen vodotoranj-fluid se modelira izborom tipa konačnih elemenata. Aspekt diskretizacije odnosi se na formiranje mreže konačnih elemenata, odnosno na izbor kvaliteta mreže i kvantiteta konačnih elemenata. Linijskim (beam) i površinskim (shell) konačnim elementima se modelira konstrukcija vodotornja, dok se domen fluida modelira prostornim izoparametarskim (solid) konačnim elementima. Ovi konačni elementi su i matematički trodimenzionalni, jer su razmatranja vezana za koordinatni sistem definisana sa tri ose. 3D solid konačni element ima osam čvorova sa po tri stepena slobode za definisanje pomeranja lociranih u uglovima i kod kojih se primenjuje 2x2x2 numerička integracija preko Gauss-ovih kvadratura.
Na slici 4a) je prikazan relan model vodotornja, dok je na slici 4b) prikazan numerički model vodotornja sa koncentrisanim modelom masa fluida. Unapređenje numeričkog modela vodotornja izvršeno je uvođenjem diskretnog modela fluida preko mreže konačnih elemenata (slika 4c).
Slika 4. a) realan model vodotornja, b) numerički model vodotornja sa koncentrisanim modelom masa fluida, c) numerički model vodotornja sa diskretnim modelom fluida
Modeliranje mase sistema se sprovodi na taj način što se masa konstrukcije vodotornja i fluida uzima direktno u analizu preko odgovarajućih masa svakog konačnog elementa pojedinačno. Kod ovako unapređenog numeričkog modela realizuje se znatno kompleksnija forma površine vodenog ogledala usled talasanja fluida i zapljuskivanja bočnih strana, za stanje da je vodotoranj pobuđen na oscilovanje.
Matematička formulacija za analize vibracija vodotornja
U ovom istraživanju sprovedene su tri različite vrste analize vibracija vodotornja:
- analiza svojstvenih vibracija vodotornja,
- analiza svojstvenih vibracija punjenja i pražnjenja rezervoara vodotornja (SFA – Staged Fluid Analysis),
- steady-state analiza (SSA – Steady-State Analysis) u frekventnom domenu (FDA – Frequency-Domain Analysis).
Određivanje svojstvenih frekvencija 3D modela vodotornja i fluida svodi se na rešenje homogenog sistema jednačina bez prigušenja. Rešenje homogene matrične jednačine su svojstvene frekvencije i svojstveni oblici vibracija. Rešenje za analizu svojstvenih vibracija punjenja i pražnjenja rezervoara vodotornja (SFA – Staged Fluid Analysis) sprovedeno je povezivanjem individualnih analiza međufaza punjenja/praženjenja. Ove analize se sukcesivno sprovede korišćenjem matrica krutosti i masa sistema na kraju prethodne analize svojstvenih vibracija kao inicijalna matrica krutosti i masa sistema naredne analize svojstvenih vibracija.
Preliminarne analize vibracija 3D solid modela fluida
U cilju efikasnije i tačnije procene efekata modeliranja fluida kao 3D solid modela izvršne su preliminarne analize vibracija. 3D solid fluidu su dodeljena svojstva prethodno definisana u ovom radu. Model fluida je razmatran kao izdvojen, gde se na taj način simulira ponašanje fluida u krutom nepomičnom rezervoaru sa impulsivnim i konvektivnim delovanjem (sloshing). Efekat krutog rezervoara je isključen iz analize vibracija anulirajući mu masu m=0, a dodeljujući mu vrednost krutosti k→∞. Veza fluid-rezervoar je ostvarena poreko kontaktnih (gap) elemenata koji se aktiviraju samo na pritisak. Prethodno su izvršene preliminarne analize broja i dimenzije konačnih elemenata 3D solid modela fluida, tako da je dobijen ukupan broj od 1000 konačnih elemenata po jednom modelu. Zapreminski modul fluida (vode) iznosi λ=2.1GPa, dok je gustina vode ρ=1000kg/m³. Kontrola perioda vibracija dobijenih analizom svojstvenih vrednosti sprovedena je primenom Ritz-ovih vektora (Ritz-ova analiza vibracija). U tabeli 1 su prikazane vrednosti perioda vibracija prvog svojstvenog oblika 3D solid modela fluida prizmatičnog i cilindričnog oblika. Evidentno je izuzetno dobro poklapanje proračunatih vrednosti perioda vibracija 3D solid modela fluida sa eksperimentalno utvrđenim vrednostima.
Tabela 1. Periodi vibracija prvog svojstvenog oblika 3D solid modela fluida prizmatičnog i cilindričnog oblika
Na slici 5 je prikazan prizmatični 3D solid model fluida za stanje mirovanja i za prvi svojstveni oblik vibracija, dok je na slici 6. prikazan cilindrični 3D solid model fluida za stanje mirovanja i za prvi svojstveni oblik vibracija. Efekat konvektivnog delovanja (sloshing) fluida se najbolje može sagledati u izdizanju fluida na jednoj strani i spuštanju na drugoj simulirajući kompleksni model vibracija fluida u vodotornju. Primenom 3D solid modela fluida dobija se kvalitetnija i kompleksnija raspodela hidrodinamičkih pritisaka po zidovima rezervoara vodotornja.
Slika 5. Prizmatični 3D solid model fluida: a) stanje mirovanja, b) prvi svojstveni oblik vibracija
Slika 6. Cilindrični 3D solid model fluida: a) stanje mirovanja, b) prvi svojstveni oblik vibracija
Analize vibracija 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida
Armiranobetonski vodotoranj je modeliran primenom površinskih (shell) konačnih elemenata i 3D solid konačnih elemenata za fluid. Uticaj fleksibilnost rezervoara vodotornja u analizi vibracija uveden je modeliranjem površinskim (shell) elementima. Ovako generisan 3D model vodotornja i fluida je visokog nivoa tačnosti, preciznosti i geometrijski odgovara realnom fizičkom modelu. Kontakt rezervoar vodotornja-fluid ostvaren je primenom čvornih kontaktnih elemenata koji se aktiviraju samo pri pritisku, tako da je uspostavljena kompatibilnost svih čvorova mreže konačnih elemenata. Ukupna visina vodotornja je 39m, prečnik rezervoara 14m, a zapremina rezervoara 1260m³. U tabeli 2 su prikazani parametri numeričkih modela vodotornja, gde su razmatranja izvršena za: prazan, pun i za međufaze punjenja. Na slici 7 je prikazan: 3D model vodotornja, vertikalni presek kroz 3D model vodotornja, vertikalni presek kroz 3D model vodotornja sa 3D solid modelom fluida i 3D solid fluid.
Tabela 2. Parametri numeričkih modela armiranobetonskog vodotornja
Slika 7. a) 3D model vodotornja, b) vertikalni presek kroz 3D model vodotornja, c) vertikalni presek kroz 3D model vodotornja sa 3D solid modelom fluida, d) 3D solid model fluida
Za 3D armiranobetonski vodotoranj sa 3D solid modelom fluida sprovedena je analiza svojstvenih vibracija za simulaciju faza punjenja i pražnjenja (SFA – Staged Fluid Analysis). SFA analize se sastoji iz četiri statičke analize i četiri analize svojstvenih vibracija koje se sukcesivno izvršavaju. Dijagram toka SFA analize vibracija armiranobetonskog vodotornja prikazan je na slici 8.
Slika 8. Dijagram toka SFA analize vibracija armiranobetonskog vodotornja
Normalizovani periodi vibracija T/Te u funkiciji nivoa fluida u rezervoaru armiranobetonskog vodotornja prikazani su na slici 9. Normalizacija perioda vibracija T je izvršena u odnosu na period vibracija praznog rezervoara vodotornja Te, pri čemu je za prazan rezervoar vodotornja h=0, a za pun h=1.
Slika 9. Normalizovani periodi vibracija T/Te u funkiciji nivoa fluida u rezervoaru armiranobetonskog vodotornja
Karakteristična prva tri svojstvena oblika 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida, dva translatorna i jedan torzioni, prikazani su na slici 10. Realizovani su veći periodi vibracija vodotornja napunjenog 2/3 fluidom za prva tri svojstvena oblika, u odnosu na periode vibracija komplet punog rezervoara vodotornja. Ovo je posledica toga što je konvektivno hidrodinamičko delovanje (sloshing) imalo znatnog uticaja kod 2/3 napunjenog rezervoara (slika 10d), nego samo induktivnog hidrodinamičko delovanje kod komplet punog rezervoara vodotornja.
Slika 10. Svojstveni oblici 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida: a) I (translatorni), b) II (translatorni), c) III (torzioni), d) svojstveni oblik vibracija 3D solid modela fluida za slučaj da je rezervoar napunjen do 2/3 visine
Efekat uvođenja 3D solid modela fluida i korekcija svojstvenih oblika vodotornja su razmatrani preko koeficijenta participacije modalnog opterećenja (modal load participation ratio) i koeficijenta modalne participacije mase (modal participating mass ratio). Koeficijent participacije modalnog opterećenja određuje koliko dobro proračunati svojstveni oblici mogu predstaviti odgovor za date dinamičke uticaje. Broj potrebnih svojstvenih oblika je dobijen iterativno i praćenjem koeficijenta RD, a čija minimalna vrednost treba da iznosi 90%. Detaljnije razmatranje svojstvenih oblika 3D solid modela fluida u rezervoaru vodotornja sprovedeno je tako što su minimizirani dinamički efekti vodotornja redukcijom domena razmatranih frekvencija. Izdvojene su frekvencije karakteristične samo za 3D solid model fluida. Razmatrana je jedna polovina vodotornja radi lakše prezentacije svojstvenih oblika vibracija. Na slici 11 su prikazana prva četiri svojstvena oblika 3D solid modela fluida u rezervoaru armiranobetonskog vodotornja. Evidentan je značaj uticaj konvektivnog hidrodinamičkog delovanja (sloshing) fluida.
Slika 11. Svojstveni oblici 3D solid modela fluida u rezervoaru armiranobetonskog vodotornja
Steady-state analiza (SSA – Steady-State Analysis) vibracija 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida sprovedena je u frekventnom domenu (FDA – Frequency-Domain Analysis). Međutim, pre SSA analize izvršena je analiza odgovora sistema u vremenskom domenu (THA – Time History Analysis) i transformacija datog odgovora u frekventan domen primenom brze Fourier-ove transformacije (FFT – Fast Fourier Transformation). Frekventni odgovor realizovan Fourier-ovim transformacijama pretstavlja se preko amplitude (FAS – Fourier amplitude spectrum). Odgovori 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida u frekventnom domenu THA analize za faze punjenja prikazani su na slici 12, dok su na slici 13 prikazani odgovori u frekventnom domenu SSA analize. Periodi vibracija prvog, drugog i trećeg svojstvenog oblika identifikovani su na osnovu pikova amplituda u frekventnom domenu. Komparacija rešenja dobijenih THA i SSA analizama uspostavljena je sa rešenjima analize svojstvenih vibracija. Izuzetno dobra poklapanja vrednosti dobijena su za period vibracija prvog i drugog svojstvenog oblika kod sve tri analize, dok su za period vibracija trećeg svojstvenog oblika dobijena manja odstupanja i to u slučaju punjenja drugog nivoa i punog rezervoara vodotornja.
Slika 12. Odgovori 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida za THA analizu u frekventnom domenu: a) prazan, b) prvi nivo, c) drugi nivo, d) pun
Slika 13. Odgovori 3D armiranobetonskog vodotornja sa 3D solid modelom fluida za SSA analizu u frekventnom domenu: a) prazan, b) prvi nivo, c) drugi nivo, d) pun
Analize vibracija 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida
Čelični vodotoranj je modeliran primenom površinskih (shell) konačnih elemenata i 3D solid konačnih elemenata za fluid. Uticaj fleksibilnost rezervoara vodotornja u analizi vibracija uveden je modeliranjem površinskim (shell) elementima. Ovako generisan 3D model vodotornja i fluida je visokog nivoa tačnosti, preciznosti i geometrijski odogovara odgovara realnom fizičkom modelu. Kontakt rezervoar vodotornja-fluid ostvaren je primenom čvornih kontaktnih elemenata koji se aktiviraju samo pri pritisku, tako da je uspostavljena kompatibilnost svih čvorova mreže konačnih elemenata. Ukupna visina vodotornja je 35.5m, prečnik rezervoara 6.8m, a zapremina rezervoara 94m³. U tabeli 3 su prikazani parametri numeričkih modela vodotornja, gde su razmatranja izvršena za: prazan, pun i za međufaze punjenja. Na slici 14 je prikazan: 3D model vodotornja, vertikalni presek kroz 3D model vodotornja, vertikalni presek kroz 3D model vodotornja sa 3D solid modelom fluida i 3D solid model fluida.
Tabela 3. Parametri numeričkih modela čeličnog vodotornja
Slika 14. a) 3D model vodotornja, b) vertikalni presek kroz 3D model vodotornja, c) vertikalni presek kroz 3D model vodotornja sa 3D solid modelom fluida, d) 3D solid model fluida
Za 3D čelični vodotoranj sa 3D solid modelom fluida sprovedena je analiza svojstvenih vibracija za simulaciju faza punjenja i pražnjenja (SFA – Staged Fluid Analysis). SFA analize se sastoji iz pet statičkih analiza i pet analiza svojstvenih vibracija koje se sukcesivno izvršavaju. Dijagram toka SFA analize vibracija 3D čeličnog vodotornja i fluida prikazan je na slici 15. Normalizovani periodi vibracija T/Te čeličnog vodotornja prikazani su na slici 16.
Slika 15. Dijagram toka SFA analize vibracija čeličnog vodotornja
Slika 16. Normalizovani periodi vibracija T/Te u funkiciji nivoa fluida u rezervoaru čeličnog vodotornja
Karakteristična prva tri svojstvena oblika 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida, dva translatorna i jedan torzioni, prikazani su na slici 17. U odnosu na armiranobetonski vodotoranj, gde su realizovani veći periodi vibracija pri 2/3 napunjenosti rezervoara fluidom nego periodi vibracija za komplet napunjen rezervoar fluidom, kod čeličnog vodotornja je realizovan postepen priraštaj perioda vibracija pri punjenju rezervoara. Ovo je posledica toga što je konvektivno hidrodinamičko delovanje (sloshing) imalo manjeg uticaja u povećanju perioda vibracija i pri čemu je induktivnog hidrodinamičko delovanje bilo dominantnije.
Slika 17. Svojstveni oblici 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida: a) I (translatorni), b) II (translatorni), c) III (torzioni)
Nivo maksimalne oscilacije fluida u rezervoaru vodotornja u direktnoj je korelaciji sa prečnikom i masom koja potiče od konvektivnog dela pritiska. Na slici 18 su prikazani svojstveni oblici fluida u rezervoaru vodotornja za fazu da je rezervoar napunjen do drugog i trećeg nivoa. S obzirom da kod čeličnog vodotoranja postoji vertikalni stub u rezervoaru i koji zajedno sa rezervoarom formira torusno telo, to se oscilacije konvektivne mase fluida dodatno redukuju, pa je i uticaj mase koja potiče od konvektivnog dela pritiska manji u ukupnoj analizi vibracija.
Slika 18. Svojstveni oblici 3D solid modela fluida: a) drugi nivo, b) treći nivo
Odgovori 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida u frekventnom domenu THA analize za faze punjenja prikazani su na slici 19, dok su na slici 20. prikazani odgovori u frekventnom domenu SSA analize. Periodi vibracija prvog, drugog i trećeg svojstvenog oblika identifikovani su na osnovu pokova amplituda u frekventnom domenu. Komparacija rešenja dobijenih THA i SSA analizama uspostavljena je sa rešenjima analize svojstvenih vibracija. Izuzetno dobra poklapanja vrednosti dobijena su za period vibracija prvog, drugog i trećeg svojstvenog oblika kod THA analize.
Slika 19. Odgovori 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida za THA analizu u frekventnom domenu: a) prazan, b) prvi nivo, c) drugi nivo, d) pun
Slika 20. Odgovori 3D čeličnog vodotornja sa 3D solid modelom fluida za SSA analizu u frekventnom domenu: a) prazan, b) prvi nivo, c) drugi nivo, d) pun
Periodi vibracija drugog i trećeg svojstvenog oblika realizovani SSA analizom imaju određeni stepen odstupanja i to u slučaju punjenja drugog i trećeg nivoa rezervoara vodotornja. Ovi periodi vibracija su naknadno provereni primenom analize snage spektralne gustine (PSDA – Power Spectral Density Analysis) i dobijena su gotovo identična rešenja kao kod SSA analize.
Link za više informacija:
Cosic M., Folic R.: Numerical Model of Fluid-Structure Interaction for Water Tower Analysis of Vibrations, Structural Integrity and Life, Vol. 20, No. 2, 2020, pp. 190-200.